倒腾了这么久,可算把数学公式给安排上啦,markdown的数学公式可是优势呀,比Latex轻,渲染起来就跟书里一样,O(∩_∩)O哈哈~,可以来写一下公式的总结啦~(≧▽≦)/~啦啦啦。本文内容可能比较多,并不是全部都总结出来,而是把不常用的和难以记住的总结出来,将持续更新。

一.初等代数

1. 乘法公式与因式分解

  $a^{3} \pm b^{3} = ( a \pm b ) ( a^{2} \mp ab + b^{2} )$
  $ ( a \pm b )^{3} = a^{3} \pm 3ab^{2} + 3ab^{2} \pm b^{3}$
  引申:$a^{n} - b^{n} = ( a - b ) ( a^{n-1} + a^{n-2}b+ \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1} )$

2. 基本不等式

  $\frac{a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{n}}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_{1}a_{2} \cdots a_{n}}$
  $ | a | - | b | \leqslant | | a | - | b | | \leqslant | a \pm b | \leqslant | a | + | b |$

3. 对数$log_{a}N \left ( a > 0, a \neq 1, N > 0 \right) $

  $N = a^{log_{a}N}$,更常用$N = e^{lnN}$
   换底公式:$log_{a}M = \frac{log_{b}M}{log_{b}a}$

4. 数列

(1). 等差数列

  通项$a_{n} = a_{1} + (n-1)d $
  前$n$项和$S_{n} = \frac{n(a_{1}+a_{n})}{2} = na_{1} + \frac{n(n-1)d}{2}$
  设$a,b,c$成等差数列,则等差中项$b = \frac{1}{2}( a + c )$

(2). 等比数列

  设$a_{1}$为首项,$q$为公比,$a_{n}$为通项,则
  通项$a_{n} = a_{1}q^{n-1}$
  前$n$项和$S_{n} = \frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q} = \frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}$

(3). 常用的几种数列的和

  ①$1+2+3+ \cdots + n = \frac{1}{2}n(n+1)$
  ②$1^{2}+2^{2}+3^{2}+ \cdots + n^{2} = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
  ③$1^{3}+2^{3}+3^{3}+ \cdots + n^{3} = [ \frac{1}{2}n(n+1) ]^{2}$

5. 排列、组合与二项式定理$(m \leqslant n )$

(1). 排列

  $P_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$

(2). 全排列

  $P_{n}^{n} = n!$

(3). 组合

  $C_{n}^{m} = \frac{P_{n}^{m}}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$
  ①$C_{n}^{m} = C_{n}^{n-m}$,特别有$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$
  ②$C_{n}^{m} = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1}$

(4). 二项式定理

  


二. 三角函数公式

1. 倍角公式与半角公式

  $cos2x = cos^{2}x-sin^{2}x = 2cos^{2}x - 1 = 1 - 2sin^{2}x $
  $tan2 \alpha = \frac{2tan \alpha}{1-tan^{2} \alpha}$
  $cot2 \alpha = \frac{cot^{2} \alpha - 1}{2cot \alpha}$
  $cos^{2}\frac{x}{2} = \frac{1+cosx}{2}$
  $sin3 \alpha = 3sin \alpha - 4sin^{3} \alpha$
  $sin^{2}\frac{x}{2} = \frac{1-cosx}{2}$
  $tan^{2}\frac{x}{2} = \frac{1-cosx}{1+cosx}$
  $tan\frac{x}{2} = \frac{1-cosx}{sinx} = \frac{sinx}{1+cosx}$
  $cos3 \alpha = 4cos^{3} \alpha - 3cos \alpha$
  $tan3 \alpha = \frac{3tan \alpha - tan^{3} \alpha}{1-3tan^{2} \alpha}$

2. 三角函数恒等式

  $sin^{2}x+cos^{2}x = 1$
   $sec^{2}x-tan^{2}x = 1$
   $csc^{2}x-cot^{2}x = 1$

3. 诱导公式

   $sin(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = cos \alpha $
   $cos(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \mp sin \alpha $
   $tan(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \mp cot \alpha $
   $cot(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \mp tan \alpha $
   注: $sin(n\pi+ \alpha) = (-1)^{n}sin \alpha $
   $cos(n\pi + \alpha) = (-1)^{n}cos \alpha $

4. 两角和差及和差化积、积化和差公式

   $tan(\alpha \pm \beta ) = \frac{tan\alpha \pm tan\beta}{1 \mp tan \alpha tan \beta}$
   $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha + \beta}{2}cos\frac{\alpha - \beta}{2}$
   $sin\alpha - sin\beta = 2cos\frac{\alpha + \beta}{2}sin\frac{\alpha - \beta}{2}$
   $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha + \beta}{2}cos\frac{\alpha - \beta}{2}$
   $cos\alpha - cos\beta = -2sin\frac{\alpha + \beta}{2}sin\frac{\alpha - \beta}{2}$
   $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2} [ sin(\alpha + \beta ) + sin(\alpha - \beta ) ]$
   $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2} [ cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta) ]$
   $sin\alpha sin\beta = - \frac{1}{2} [ cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta) ]$

5. 反三角函数基本关系公式

   $arccos(-x) = \pi - arccosx ( | x | \leqslant 1) $
   $arccot(-x) = \pi - arccotx ( | x | \leqslant 1) $
   $arcsinx + arccosx = \frac{\pi}{2} ( | x | \leqslant 1) $
   $arctanx + arccotx = \frac{\pi}{2} $
   $arctanx = arccot \frac{1}{x} ( x > 0 ) $
   $arctanx + arctany = arctan \frac{x+y}{1-xy} $


三. 函数

1. 函数

性质

  有界性
  单调性
  周期性
  奇偶性

2. 常用函数

① 绝对值函数

  $y = |x| = \begin{cases}
x& \text{ if } x \geqslant 0 \\
-x& \text{ if } x < 0
\end{cases}$

② 符号函数

  $y = sgnx = \begin{cases}
1 & \text{ if } x> 0\\
0 & \text{ if } x= 0\\
-1 & \text{ if } x < 0
\end{cases}$

  注: $x = sgnx \cdot |x| $

③ 取整函数

  $y=[x]$

④ 变积分上限函数

  $\varphi (x) = \int_{a}^{x}f(t) dt $

⑤ 双曲函数

  双曲正弦   $y=shx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
  双曲余弦   $y=chx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
  双曲正切   $y=thx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$
  反双曲正弦   $y=arshx=ln(x + \sqrt{x^{2}+1} )$
  反双曲余弦   $y=archx=ln(x - \sqrt{x^{2}+1} )$
  反双曲正切   $y=arthx=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}$


四. 极限

1. 极限的定义

   ①数列极限的定义
   ②当$x \to \infty $时$f(x)$的极限
   ③当$x \to x_{0}$时($x_{0}$为有限值)$f(x)$的极限
   ④当$x \to x_{0}$时($x_{0}$为有限值)$f(x)$的左右极限

2. 数列极限的基本性质

   ①极限的唯一性
   ②收敛数列的有界性
   ③收敛数列的保号性

3. 函数极限的基本性质

   ①极限的唯一性
   ②函数极限的局部有界性
   ③函数极限的局部保号性
   ④函数极限与数列极限的关系
   ⑤复合函数的极限

4. 无穷小量与无穷大量

(1)定义

   ①无穷小量:$limf(x) = 0 ( x \to x_{0} $或$ x \to \infty )$
   ②无穷大量:$limf(x) = \infty ( x \to x_{0} $或$ x \to \infty )$
   注:0是唯一可以作为无穷小量的常数,无穷大量必定是某区间上的无界量,但无界量不一定是无穷大量。

(2). 性质

  有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量;有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量;无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量。

(3). 无穷小量的比较

设在自变量$x$的同一变化过程中(如$x \to x_{0} $或$x \to \infty ) $,$\alpha (x), \beta(x) $都是无穷小:

  ①如果$lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$,则称$\alpha(x)$是$\beta(x)$的高阶无穷小,记作$\alpha(x) = o(\beta(x))$。

  ②如果$lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty$,则称$\alpha(x)$是$\beta(x)$的低阶无穷小。

  ③如果$lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c ( c \neq 0 )$,则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小。

  ④如果$lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 ( c \neq 0 )$,则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小,记作$\alpha(x) \sim \beta(x)$。

  ⑤如果$lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)^{k}} = c ( c \neq 0 )$,则 称$\alpha(x)$是$\beta(x)$的$k$阶无穷小。

等价无穷小替换定理  设在自变量$x$的同一变化过程中,$\alpha_{1}(x), \alpha_{2}(x), \beta_{1}(x),\beta_{2}(x)$都是无穷小,而且$\alpha_{1}(x) \sim \alpha_{2}(x),\beta_{1}(x) \sim \beta_{2}(x),$如果$lim\frac{\alpha_{2}(x)}{\beta_{2}(x)} = A$,则$lim\frac{\alpha_{1}(x)}{\beta_{1}(x)} = lim\frac{\alpha_{2}(x)}{\beta_{2}(x)} = A$

(4). 常用等价无穷小

当$x \to 0$时,有
$sinx \sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim e^{x}-1 \sim ln(1+x) \sim x$
$a^{x} - 1 \sim xlna$,$(1+x)^{m}-1 \sim mx$,$1-cosx \sim \frac{1}{2}x^{2}$

(5). 极限的四则运算法则

如果$limf(x)=A$,$limg(x)=B$,则有

  $lim[f(x) \pm g(x) ] = A \pm B$

  $lim[f(x) \cdot g(x) ] = A \cdot B$

  $lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} ( B \neq 0)$

  $limf(x)^{g(x)} = A^{B} ( A > 0 )$

注:极限运算法则成立的前提条件是$limf(x),limg(x)$均存在

(6). 极限存在的判别方法

   ①单调有界定理:单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)的数列$\left \{ x_{n} \right \}$必有极限。
  ②夹逼定理:如果数列$\left \{ x_{n} \right \}$,$\left \{ y_{n} \right \}$,$\left \{ z_{n} \right \}$满足下列条件
   $y_{n} \leqslant x_{n} \leqslant z_{n} ( n = 1,2, \cdots) $
   $\lim{n \to \infty} y_{n} = a$,$\lim{n \to \infty} z_{n} = a$,
  那么数列$\left \{x_{n} \right \}$的极限存在,且$\lim{n \to \infty} x_{n} = a$


五. 函数的连续性1


  1. 1.内容较多,待后续更新

本文标题:高等数学知识总结 (一)

文章作者:JarryChen

发布时间:2019年11月05日 - 20:57

最后更新: 2019年12月12日 09:40

原始链接: https://jarrychen.xyz/archives/2a998369.html

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