高等数学知识补充

JarryChen · 2020-1-18 · 次阅读


  在前面的一波总结后,今天,主要是针对高数余下的部分,包括三重积分,无穷级数,曲线积分,曲面积分以及空间解析几何与向量代数这几个部分。其中三重积分结合重积分的几何应用和物理应用,本不是一章,因内容较多也单独一章出来。这几个部分知识点那是除了空间解析几何与向量代数相对简单一点,剩下的均是又难算又复杂,尤其积分那部分还需要把图画准确咯。因此,这部分更加需要好好额外的总结一下。

一、无穷级数13

1. 级数的概念与性质

  定义 数列$\left \{ u_n \right \}$所构成的表达式$u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$称为无穷级数,记为$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$,$u_n$称为级数的一般项,$s_n=\sum_{i=1}^n u_i$称为技术的部分和。若$\lim\limits_{n \to \infty} s_n = s$,则称级数收敛,且$s$为级数的和,若$\left \{ s_n \right \}$没有极限,则称级数发散.
  性质1 设$k \neq 0$,则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$与$\sum_{n=1}^{\infty} ku_n$同收敛。
  性质2 ①若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n , \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_n$分别收敛于$S, \, \sigma, $,则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n \pm v_n)$收敛于$S \pm \sigma$。
  ②若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$都发散,则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n + v_n)$可能收敛,也可能发散。
  注:若一个收敛,一个发散,则和一定发散。
  性质3 改变前有限项不影响级数的敛散性。
  性质4 收敛级数加括号仍收敛,且和不变。
  注:一个级数加括号后收敛,原级数不一定收敛;一个级数加括号后发散,则原级数一定发散。
  性质5 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛的必要条件是$\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0$。
  推论 若$\lim\limits_{n \to \infty} u_n \neq 0$,则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$一定发散。

2. 级数的收敛准则

(1) 正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n \, ( u_n \geqslant 0)$

  定理1 正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛$\Leftrightarrow $部分和数列有上界。
  定理2(比较判别法) 若$0 \leqslant u_n \leqslant v_n$,则$$\sum_{n=1}^{\infty} v_n 收敛 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛;$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} v_n 发散.$$   定理3(比较判别法的极限形式) 设$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$都是正项级数,且$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l ( 0 \leqslant l \leqslant +\infty)$,则有
  ①若$0 < l < +\infty$,则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$与$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$同敛散;
  ②若$l = 0$,则$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n发散 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} v_n 发散; \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_n收敛 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛$$   ③若$l = +\infty$,则$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n收敛 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} v_n 收敛; \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_n发散 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散$$   定理4(比值判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$为正项级数,若$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$,则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$,当$\rho < 1$时收敛,$\rho > 1$时发散,$\rho = 1$时不确定。
  定理5(根值判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$为正项级数,若$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$,则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$,当$\rho < 1$时收敛,$\rho > 1$时发散,$\rho = 1$时不确定。

(2) 交错级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n \, (u_n > 0)$

  定理(莱布尼茨判别法) 若$u_n \geqslant u_{n+1} \quad (n=1,2, \cdots)$,$\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0$,则级数$\lim\limits_{n \to \infty} (-1)^{n+1} u_n$收敛。

  注:莱布尼茨判别法是一个充分条件,即若$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n , \quad u_n > 0$收敛,但不一定有$u_n \geqslant u_{n+1} \quad (n=1,2,\cdots)$成立;
  用莱布尼茨判别法判定$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n$是否收敛时,说明$u_n \geqslant u_{n+1}$通常有下列三种方法:
  ①利用$\frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$
  ②利用$u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0$
  ③求出一个可导函数$f(x)$,使得$f(x) = u_n$,并由$f^{'}(x) < 0$说明$u_n$是单调递减的,在考察$\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0$时,也可以用这种方法,即考察$\lim\limits_{x \to \infty}$

(3) 任意项级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n (u_n为任意实数)$

  ①绝对收敛与条件收敛
  定义 若$\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$收敛,则称$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$绝对收敛;若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛,而$\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$发散,则称$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$条件收敛.
  ②绝对收敛和条件收敛的一些基本结论
  绝对收敛的级数一定收敛,即$\sum_{n=1}^{\infty} |u_n| \quad 收敛 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n \quad 收敛$;
  条件收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散,即若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$条件收敛,则$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n + |u_n|}{2}$和$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n - |u_n|}{2}$都发散.

3. 函数项级数和幂级数

(1) 函数项级数、收敛域与和函数

  定义1 设$u_1(x), \, u_2(x), \, \cdots , \, u_n(x)$是定义在区间$I$的函数列,则称$$u_1(x) + u_2(x) + \cdots + u_n(x) + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$$为定义在区间$I$上的函数项级数。
  若$x_0 \in I$,常数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)$收敛,则称$x_0$为$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$的收敛点,否则称为发散点,所有收敛点构成的集合称为收敛域。
  定义2 函数项级数在收敛域内有和,其值与收敛点$x$有关,记为$S(x), \quad S(x)$称为级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$的和函数,即$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$。

(2) 幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域

  定义1 形如$\sum_{n = 0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$的函数项级数称为幂级数,特别地,当$x_0 = 0$时,有$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$。
  定理1(阿贝尔定理) 如果$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$当$x = x_0 \, (x_0 \neq 0)$时收敛,则当$|x| < |x_0|$时,$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$绝对收敛;如果当$x=x_0$时发散,则当$|x| > |x_0|$时,$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$发散。
  定义2 若存在$R$,使得$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$在($-R, \, R$)内收敛,而当$|x| > R$时,$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$发散,则称$R$为幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$的收敛半径,($-R, \, R$)称为$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$的收敛区间。
  定理2 如果$\lim\limits_{n \to +\infty} | \frac{a_{n+1}}{a_n} | = \rho$,则$R = \frac{1}{\rho}$。
  定理3 如果$\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$,则$R = \frac{1}{\rho}$。

4. 幂级数的性质

(1) 运算性质

  设幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$的收敛半径为$R_1$,和函数为$S_1(x)$,而幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n$的收敛半径为$R_2$,和函数为$S_2(x)$,令$R = min \left \{ R_1, R_2 \right \}$,则有: $$\begin{align}① \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \pm \sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n &= \sum_{n=0}^{\infty} (a_n \pm b_n)x^n \\ &= S_1(x) \pm S_2(x), \quad x \in (-R, \, R).\end{align}$$ $$\begin{align}② (\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n)(\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n) &= \sum_{n=0}^{\infty}(a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0)x^n \\ &= S_1(x) S_2(x), \quad x \in (-R, \, R) .\end{align}$$

(2) 和函数的性质

  设$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$的收敛半径为$R$,和函数为$S(x)$,则
  ①$S(x)$在$(-R, \, R)$上连续;
  ②$S(x)$在$(-R, \, R)$上可导,且可逐项求导,即$$S^{'}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1}; $$   ③$S(x)$在$(-R, \, R)$内可积,且逐项可积,即$$\int_{0}^{x} S(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_n x^n dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n x^{n+1}}{n+1}.$$

  注:若$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$在$x = -R$处收敛,则$S(x)$在$x = -R$处右连续;若$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$在$x = R$处收敛,则$S(x)$在$x = R$处左连续。

5. 函数的幂级数展开式

(1) 泰勒级数

  设$f(x)$在$x = x_0$处任意阶可导,则幂级数$$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n &= f(x_0) + f^{'}(x_0)(x-x_0) \\ &+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \cdots \end{align}$$ 称为$f(x)$在$x=x_0$处的泰勒级数。

(2) 麦克劳林级数

  当$x_0 = 0$时,级数$$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n &= f(0) + f^{'}(0)x + \cdots \\ &+ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \cdots \end{align}$$称为$f(x)$的麦克劳林级数。

(3) 泰勒级数的收敛定理

  定理 设$f(x)$在$x=x_0$处任意阶可导,则泰勒级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n $收敛于$f(x)$的充要条件是$\lim\limits_{n \to \infty} R_n(x) = 0$,其中$$R(x) = \frac{f^{(n+1)}[x_0 + \theta ( x- x_0 ) ]}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} , \quad 0 < \theta < 1.$$

(4) 常用的麦克劳林展开式

$$① \frac{1}{1-x} = 1 + x + \cdots + x^n + \cdots , \quad x \in (-1,1)$$ $$② \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + \cdots + (-1)^n x^n + \cdots, \quad x \in (-1,1)$$ $$③e^x = 1 + x + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots, \quad x \in (-\infty, +\infty)$$ $$④sinx = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots, \quad x \in (-\infty, +\infty)$$ $$⑤cosx = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \cdots, \quad x \in (-\infty, +\infty)$$ $$⑥ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} + \cdots, \quad x \in (-1, 1]$$ $$⑦\begin{align} (1+x)^{\alpha} &= 1+ \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \\ & \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}x^n + \cdots, \quad x \in (-1,1) \end{align}$$

6. 傅里叶级数1

  以$2l$为周期的傅里叶级数 $$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos \frac{n \pi x}{l} + b_n sin \frac{n \pi x}{l})$$   傅里叶系数 $$a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) cos \frac{n \pi x}{l} dx, \quad n=0,1,2,\cdots$$ $$b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) sin \frac{n \pi x}{l} dx, \quad n=1,2,\cdots$$   定理(收敛定理) 设$f(x)$是周期为$2l$的周期函数,若①在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,②在一个周期内至多只有有限个极值点,则$f(x)$的傅里叶级数收敛,并且
  当$x$是$f(x)$的连续点时,级数收敛于$f(x)$;
  当$x$是$f(x)$的间断点时,级数收敛于$\frac{1}{2}[ f(x^-) + f(x^+)]$.


二、空间解析几何与向量代数1

1. 向量运算及其性质

(1) 向量的运算

$$设 \alpha = \left \{ x_1, \, y_1, \, z_1 \right \} , \quad b = \left \{ x_2, \, y_2, \, z_2 \right \}, \quad c = \left \{ x_3, \, y_3, \, z_3 \right \}.$$   ①$a \pm b = \left \{ x_1 \pm x_2, \, y_1 \pm y_2, \, z_1 \pm z_2 \right \}$;
  ②$k \alpha = \left \{ kx_1, \, ky_1, \, kz_1 \right \}$;
  ③$a \cdot b = | a | | b | cos ( \widehat{a, \, b} ) = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$
  ④$c = a \times b$ 满足右手法则,垂直于$a$与$b$所确定的平面。$$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix},$$ $$ |c| = |a \times b| = |a| |b| sin ( \widehat{a, \, b} );$$   ⑤$(a, \, b, \, c) = (a \times b) \cdot c = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2\\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}.$

(2) 运算性质
  • ①$a \cdot b = b \cdot a$(交换律);
  • ②$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$(分配律);
  • ③$\lambda (a \cdot b) = (\lambda a) \cdot b = a \cdot (\lambda b)$;
  • ④$a \times b = -b \times a$(反交换律);
  • ⑤$a \times (b+ c) = a \times b + a \times c$(分配律);
  • ⑥$\lambda a \times b = (\lambda a) \times b = a \times (\lambda b)$;
  • ⑦$(a, \, b, \, c) = (b, \, c, \, a) = (c, \, a, \, b)$(轮换对称性);
  • $$⑧(a, \, b, \, c) = -(a, \, c, \, b) = -(c , \, b, \, a) = -(b, \, a, \, c)$$(两向量互换,混合积变号).

2. 向量之间的关系

$$设 \alpha = \left \{ x_1, \, y_1, \, z_1 \right \} , \quad b = \left \{ x_2, \, y_2, \, z_2 \right \}, \quad c = \left \{ x_3, \, y_3, \, z_3 \right \}, \, 则$$   $$①a \perp b \Leftrightarrow a \cdot b = 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0;$$   $$②a // b \Leftrightarrow a \times b = 0 \Leftrightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}; $$   $$③a , \, b共线 \Leftrightarrow \exists 不全为零的数 \lambda, \mu, 使\lambda a + \mu b = 0;$$   $$④a, \, b, \, c共面 \Leftrightarrow \exists 不全为零的数 \lambda, \mu , \gamma, 使 \lambda a + \mu b + \gamma c = 0或(a, \, b, \, c) = 0;$$   ⑤$a, \, b$的夹角余弦$$cos (\widehat{a, \, b}) = \frac{a \cdot b}{|a| |b| } = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}.$$

3. 平面方程

  • ①一般式:$Ax + By + Cz + D = 0$;
  • ②点法式:$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$,过点$M(x_0, \, y_0, \, z_0)$,且法向量为$n = \left \{ A , \, B , \, C \right \}$;
  • ③三点式: $$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_1 - x_2 & y_1 - y_2 & z_1 - z_2\\ x_2 - x_3 & y_2 - y_3 & z_2 - z_3 \end{vmatrix};$$
  • ④截距式:$\frac{x}{a}+ \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

4. 直线方程

  • ①一般式(两平面的交线): $$\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0, \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 , \end{cases}$$ $n_1 = \left \{ A_1, \, B_1, \, C_1 \right \}, \, n_2 = \left \{ A_2, \, B_2, \, C_2 \right \}$,直线的方向向量为$s = n_1 \times n_2$;
  • ②标准式: $$\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}.$$ 过点$M(x_0, \, y_0, \, z_0)$,且方向向量为$s = \left \{ l, \, m, \, n \right \}$;
  • ③两点式: $$\frac{x-x_0}{x_1-x_0} = \frac{y-y_0}{y_1-y_0} = \frac{z-z_0}{z_1-z_0},$$ 过点$M(x_0, \, y_0, \, z_0), \quad M_1(x_1, \, y_1, \, z_1)$;
  • ④参数式: $$\begin{cases} x = x_0 + lt, \\ y = y_0 + mt, \\ z = z_0 + nt, \end{cases}$$ 过点$M(x_0 , \, y_0, \, z_0)$,且方向向量为$s = \left \{l, \, m, \, n \right \}$.

三、三重积分1

1. 三重积分的定义

  空间有界闭区域$\Omega$上的有界函数$f(x, \, y, \, z)$的三重积分为 $$\iiint_{\Omega}f(x, \, y, \, z)dv = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \, \eta_i, \, \zeta_i) \Delta v_i,$$   其中$\lambda$为各小闭区域直径中的最大值。
  注:若$f(x, \, y, \, z)$在空间有界闭区域$\Omega$上连续,则三重积分$\iiint_{\Omega} f(x, \, y, \, z)dv$一定存在。
  几何意义:假设一物体在空间闭区域$\Omega$中有密度函数$\rho(x, \, y, \, z)$,且$\rho(x, \, y, \, z)$在$\Omega$上连续,则$M = \iiint_{\Omega} \rho(x, \, y, \, z)dv$表示此物体的质量。

2. 三重积分的计算

① 利用直角坐标计算三重积分

  i)若$\Omega$可表示为$z_1(x, \, y) \leqslant z \leqslant z_2(x, \, y)$,$(x, \, y) \in D_{xy}$,其中$D_{xy} = \left \{ (x, \, y) | y_1(x) \leqslant y \leqslant y_2(x), \, a \leqslant x \leqslant b \right \}$为$\Omega$在$xOy$面上的投影,则 $$\iiint_{\Omega} f(x, \, y, \, z)dv = \int_a^b dx \int_{y_1 (x)}^{y_2(x)} dy \int_{z_1 (x,y)}^{z_2 (x,y)}f(x, \, y, \, z)dz;$$   ii)若$\Omega$可表示为$\Omega = \left \{ (x, \, y, \, z) | (x, \, y) \in D, c_1 \leqslant z \leqslant c_2 \right \}$,其中$D_z$是平行于$xOy$平面,竖坐标为$z$的平面截闭区域$\Omega$所得的一个平面闭区域,则 $$\iiint_{\Omega} f(x, \, y, \, z)dv = \int_{c_1}^{c_2} dz \iint_{D_z} f(x, \, y, \, z)dxdy.$$

② 利用柱坐标计算三重积分

  若柱面坐标变换为$$\begin{cases} x = rcos \theta , \\ y = rsin \theta , \\ z = z, \end{cases}$$,则 $$\iiint_{\Omega} f(x, \, y, \, z)dv = \iiint_{\Omega} f(rcos \theta, \, rsin \theta , \, z)rdrd \theta .$$

③ 利用球面坐标计算三重积分

  若球面坐标变换为$$\begin{cases} x = r sin \varphi cos \theta , \\ y = r sin \varphi sin \theta , \\ z = r cos \varphi, \end{cases}$$,则 $$\iiint_{\Omega} f(x, \, y, \, z)dv = \iiint_{\Omega} f(r sin \varphi cos \theta, \, r sin \varphi sin \theta , \, r cos \varphi) \times r^2 sin \varphi dr d \varphi d \theta.$$

四、重积分的应用

1. 重积分的几何应用

① 平面图形面积

  $\sigma = \iint_{D} d\sigma$.

② 曲面面积

  由方程$z = z(x, \, y)$确定的单值光滑曲面$\sum$的面积为$$S = \iint_{D_{xy}} \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 }dxdy,$$其中$D_{xy}$是该曲面在$xOy$平面上的投影区域。

  注意:当曲面$\sum$的方程为$x = x(y , \, z), (y, \, z) \in D_{yz}$或$y = y(x, \, z), (x, \, z) \in D_{xz}$时,可得该曲面的面积公式 $$S = \iint_{D_{yz}} \sqrt{1 + (\frac{\partial x}{\partial y})^2 + (\frac{\partial x}{\partial z})^2 } dydz,$$ $$S = \iint_{D_{xz}} \sqrt{1 + (\frac{\partial y}{\partial x})^2 + (\frac{\partial y}{\partial z})^2} dxdz.$$

③ 空间立体的体积

  i)曲顶柱体的体积
  若$f(x, \, y) \geqslant g(x, \, y)$,$(x, \, y) \in D$,则以$z = f(x, \, y)$为顶,以$z = g(x, \, y)$为底,且在$xOy$平面上投影区域为$D$的曲顶柱体体积为$$V = \iint_{D} [f(x, \, y) - g(x, \, y)] dxdy;$$   ii)$V = \iiint_{\Omega} dv.$

2. 重积分的物理应用

① 质量

  i)设平面薄片$D$的面密度为$\rho(x, \, y)$,则平面薄片$D$的质量为$M = \iint_{D} \rho(x, \, y) d\sigma;$
  ii)设$\rho(x, \, y, \, z )$是空间物体$\Omega$在点$(x, \, y, \, z)$处的体密度,$\Omega$的质量为 $$M = \iiint_{\Omega} \rho(x, \, y, \, z)dv.$$

② 物体的重心坐标

  i)设平面薄片$D$的面密度为$\rho(x, \, y)$,则$D$的重心坐标为 $$\overline{x} = \frac{\iint_D x \rho(x, \, y)d\sigma}{\iint_D \rho(x, \, y)d\sigma}, \quad \overline{y} = \frac{\iint_D y \rho(x, \, y) d\sigma}{\iint_D \rho(x, \, y) d\sigma};$$   ii)设空间物体$\Omega$的体密度为$\rho(x, \, y, \, z)$,则$\Omega$的重心坐标为 $$\overline{x} = \frac{\iiint_\Omega x \rho(x, \, y, \, z)dv}{\iiint_\Omega \rho(x, \, y, \, z)dv}, \quad \overline{y} = \frac{\iiint_\Omega y \rho(x, \, y, \, z) dv}{\iiint_\Omega \rho(x, \, y, \, z) dv}, \quad \overline{z} = \frac{\iiint_\Omega z \rho(x, \, y, \, z)dv}{\iiint_\Omega \rho(x, \, y, \, z)dv}.$$

③ 转动惯量

  用$I_x, \, I_y, \, I_z, \, I_o$分别表示对$x$轴,$y$轴,$z$轴和原点的转动惯量。
  i)$\rho(x, \, y)$为平面薄片$D$的面密度,则 $$I_x = \iint_D y^2 \rho(x, \, y)d\sigma , \quad I_y = \iint_D x^2 \rho(x, \, y)d\sigma , \quad I_o = \iint_D (x^2 + y^2) \rho(x, \, y) d\sigma;$$   ii)若空间物体$\Omega$的体密度为$\rho(x, \, y, \,z)$,则 $$I_x = \iiint_\Omega (y^2 + z^2) \rho dv, \quad I_y = \iiint_\Omega (x^2 + z^2) \rho dv,$$ $$I_z = \iiint_\Omega (x^2 + y^2) \rho dv, \quad I_o = \iiint_\Omega (x^2 + y^2 + z^2) \rho dv = \frac{1}{2}(I_x + I_y + I_z),$$ 关于$xOy$面的转动惯量为$I_{xy} = \iiint_{\Omega} z^2 \rho dv$

④ 物体对质点的引力

  i)设平面薄片$D$的面密度$\rho(x, \, y)$在$D$上连续,则薄片对位于$z$轴上的点$M_0(0, \, 0, \, a)$处单位质量的质点的引力为$F = \left \{ F_x, \, F_y, \, F_z \right \}$,其中 $$F_x = G \iint_D x \frac{\rho(x, \, y) d\sigma}{(x^2 + y^2 + a^2)^\frac{3}{2}}, \quad F_y = G \iint_D y \frac{\rho(x, \, y) d\sigma}{(x^2 + y^2 + a^2)^\frac{3}{2}}$$ $$F_z = -G \iint_D \frac{\alpha \rho(x, \, y) d\sigma}{(x^2 + y^2 + a^2)^\frac{3}{2}};$$   ii)设空间物体$\Omega$的体密度$\rho(x, \, y, \, z)$在$\Omega$上连续,$\Omega$外一质量为$m_0$的质点$M_0(x_0, \, y_0, \, z_0)$,则物体对质点的引力为$F = \left \{ F_x, \, F_y, \, F_z \right \}$,其中 $$F_x = \iiint_\Omega \frac{Gm_0 (x-x_0) \rho(x, \, y, \, z)dv}{[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2]^\frac{3}{2}}, $$ $$F_y = \iiint_\Omega \frac{Gm_0 (y-y_0) \rho(x, \, y, \, z)dv}{[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2]^\frac{3}{2}}, $$ $$F_z = \iiint_\Omega \frac{Gm_0 (z-z_0) \rho(x, \, y, \, z)dv}{[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2]^\frac{3}{2}}, $$


五、曲线积分与曲面积分1

1. 曲线积分

(1) 对弧长的曲线积分的定义及性质

  定义 $$\int_L f(x,y) ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i$$,其中$\lambda = max_{1 \leqslant i \leqslant n } \left \{ \Delta s_i \right \} $.
  性质 $$①\int_L [ k_1 f_1(x,y) \pm k_2 f_2(x,y) ] ds = k_1 \int_L f_1(x,y)ds \pm k_2 \int_L f_2(x,y) ds \quad (k_1, \, k_2为常数).$$ $$②\int_L f(x,y) ds = \int_{L_1} f(x,y)ds + \int_{L_2} f(x,y)ds \quad (L = L_1 + L_2).$$   ③设在$L$上$f(x,y) \leqslant g(x,y)$,则 $$\int_Lf(x,y)ds \leqslant \int_L g(x,y)ds,$$ 特别地,有$| \int_L f(x,y)ds | \leqslant \int_L | f(x,y) | ds.$

(2) 对坐标的曲线积分的定义及性质

  定义 函数$P(x, \, y)$在有向曲线弧$L$上对$x$的曲线积分$$\int_L P(x, \, y)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} P(\xi_i, \, \eta_i) \Delta x_i;$$同样地,对$y$的曲线积分为$$\int_L Q(x, \, y)dy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} Q(\xi_i, \, \eta_i) \Delta y_i.$$   一般地,$$\int_L P(x, \, y)dx + Q(x, \, y) dy = \int_L P(x, \, y)dx + \int_L Q(x, \, y)dy.$$   性质 ①设$k_1, \, k_2$为常数,则 $$\int_L (k_1 P_1 \pm k_2 P_2) dx = k_1 \int_L P_1 dx \pm k_2 \int_L P_2 dx,$$ $$\int_L (k_1 Q_1 \pm k_2 Q_2) dy = k_1 \int_L Q_1 dy \pm k_2 \int_L Q_2 dy.$$   ②若$L = L_1 + L_2$,则 $$\int_L Pdx + Qdy = \int_{L_1} Pdx + Qdy + \int_{L_2} Pdx + Qdy.$$   ③设$L$是有向弧段,$-L$是与$L$方向相反的有向弧段,则有 $$\int_{-L}Pdx + Qdy = -\int_L Pdx + Qdy.$$

(3) 两类曲线积分的关系

  ①对弧长的曲线积分与路径$L$的方向无关,而对坐标的曲线积分与路径的方向有关,即 $$\int_{\widehat{AB}}f(x, \, y)ds = \int_{\widehat{BA}}f(x, \, y)ds,$$ $$\int_{\widehat{AB}}Pdx + Qdy = -\int_{\widehat{BA}} Pdx + Qdy.$$   ②设$L$是平面$xOy$内的一条有向光滑曲线弧,则$$\int_L Pdx + Qdy = \int_L (P cos \alpha + Q cos \beta )ds,$$其中$cos \alpha, \, cos \beta$为有向曲线$L$上点$(x, \, y)$处切线向量的方向余弦。

  注:对空间曲线$\Gamma$,有$$\int_\Gamma Pdx + Qdy + Rdz = \int_\Gamma (Pcos \alpha + Qcos \beta + R cos \gamma)ds,$$其中$cos \alpha, \, cos \beta, \, cos \beta$为有向曲线$\Gamma$上点$(x, \, y, \, z)$处切线向量的方向余弦。

(4) 曲线积分的计算

  ①对弧长的曲线积分 设$L$的参数方程为$\begin{cases} x = \varphi(t), \\ y = \psi(t) \end{cases} (\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$,$f(x, \, y)$在$L$上有定义且连续,$\varphi(t), \, \psi(t)$在$[\alpha, \, \beta]$上具有一阶连续导数,$\varphi^{'2}(t) + \psi^{'2}(t) \neq 0$,则$$\int_L f(x, \, y)ds = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t) , \, \psi(t)] \sqrt{\varphi^{'2}(t) + \psi^{'2}(t)} dt$$   注:定积分的下限$\alpha$一定要小于上限$\beta$。
  ②对坐标的曲线积分 设$L$的参数方程为$\begin{cases} x = \varphi(t), \\ y = \psi(t) \end{cases}$,$P(x, \, y), Q(x, \, y)$在有向曲线弧$L$上有定义且连续,当$t$单调地从$\alpha$变到$\beta$时,$M(x, \, y)$从$L$的起点$A$沿$L$运动到终点$B$, $\varphi(t), \, \psi(t)$在以$\alpha$及$\beta$为端点的闭区间上一阶连续可导,且$\varphi^{'2}(t) + \psi^{'2}(t) \neq 0$,则 $$\int_L P(x, \, y) dx + Q(x, \, y)dy = \int_{\alpha}^{\beta} \left \{ P[\varphi(t), \, \psi(t) ] \varphi^{'} (t) + Q[ \varphi(t), \, \psi(t) ] \psi^{'} (t) \right \} dt.$$   注:下限$\alpha$对应于$L$的起点,上限$\beta$对应于$L$的终点,$\alpha$不一定小于$\beta$.

2. 曲面积分

(1) 对面积的曲面积分

  ①对面积的曲面积分的定义 $$\iint_{\sum}f(x,y,z)dS = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i,$$ 其中$\lambda$为各小块曲面直径的最大值。
  ②对面积的曲面积分的性质
   类似于对弧长的曲线积分的性质。

(2) 对坐标的曲面积分

  ①对坐标的曲面积分的定义 $$\iint_\sum R(x, \, y, \, z)dxdy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n R(\xi_i, \, \eta_i, \, \zeta_i)(\Delta S_i)_{xy},$$ 其中$R(x, \, y, \, z)$称为被积函数,$\sum$称为积分曲面,类似地,可定义 $$\iint_\sum P(x, \, y, \, z)dydz = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n P(\xi_i, \, \eta_i, \, \zeta_i)(\Delta S_i)_{yz},$$ $$\iint_\sum Q(x, \, y, \, z)dydz = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n Q(\xi_i, \, \eta_i, \, \zeta_i)(\Delta S_i)_{zx},$$   一般地,有 $$\iint_\sum Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_\sum Pdydz + \iint_\sum Qdzdx + \iint_\sum Rdxdy.$$   ②对坐标的曲面积分的性质
  类似于对坐标的曲线积分,例如:
  i)若有$\sum = \sum_1 + \sum_2$,则 $$\begin{align} \iint_\sum Pdydz + Qdzdx + Rdxdy &= \iint_{\sum_1} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy \\ & + \iint_{\sum_2} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy; \end{align}$$   ii)若$\sum$是有向曲面,$-\sum$是与$\sum$取相反侧的有向曲面,则 $$\iint_{-\sum} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = -\iint_\sum Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.$$

(3) 两类曲面积分的关系

  ①对面积的曲面积分与曲面的侧无关,对坐标的曲面积分与曲面的侧有关。   $$②\iint_{\sum} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_{\sum} (P cos \alpha + Q cos \beta + Rcos \gamma) dS,$$其中$cos \alpha, \, cos \beta, \, cos \gamma$是有向曲面$\sum$上点$(x, \, y, \, z)$处的法线向量的方向余弦。

(4) 曲面积分的计算

  ①对面积的曲面积分的计算
  设函数$f(x, \, y, \, z)$在光滑曲面$\sum$上连续,若曲面$\sum$的方程为$z = z(x, \, y)$,它在$xOy$平面上的投影区域为$D_{xy}$,则 $$\begin{align} \iint_{\sum} f(x, \, y, \, z)dS &= \iint_{D_{xy}} f[x, \, y, \, z(x, \, y)] \\ & \cdot \sqrt{1+ (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy, \end{align}$$ 若曲面$\sum$由方程$x = x(y, \, z)$或$y = y(z, \, x)$给出,也可类似将对面积的曲面积分化为相应的二重积分。
  ②对坐标的曲面积分的计算 $$\iint_{\sum} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \pm \iint_{D_{yz}} Pdydz \pm \iint_{D_{zx}} Qdzdx \pm \iint_{D_{xy}}Rdxdy,$$ 如果$\sum$是曲面的前侧、右侧、上侧,应取正号;反之取负号。

(5) 高斯公式及其应用

  ①高斯公式
  设空间闭区域$\Omega$由分片光滑的闭曲面$\sum$围成,函数$P(x, \, y, \, z), Q(x, \, y, \, z), R(x, \, y, \, z)$在$\Omega$上具有一阶连续偏导数,则 $$\iiint_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z}dv = \oint\oint_{\sum} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy,$$ ps:这里的$\oint\oint$是因为找不到对应的符号,知道意思即可,不钻牛角尖,下同
其中$\sum$是$\Omega$的整个边界曲面取外侧,特别地,当取$P = x, \, Q = y, \, R = z$时,空间区域的体积为 $$V = \frac{1}{3} \oint \oint_{\sum} xdydz + ydzdx + zdxdy$$   ②散度
  向量场$A = \left \{ P(x, \, y, \, z), Q(x, \, y, \, z), R(x, \, y, \, z) \right \}$的散度为$$divA = \frac{\partial P}{\partial x}+ \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.$$   ③高斯公式的向量形式
  $\iiint_{\Omega} divA dv = \oint \oint_{\sum} A dS$,其中$\sum$是空间区域$\Omega$的边界曲面,$dS = (dydz, \, dzdx, \, dxdy)$

(6) 斯托克斯公式及其应用

  ①斯托克斯公式
  设$\Gamma$为分段光滑的空间有向闭曲线,$\sum$是以$\Gamma$为边界的分片光滑有向曲面,$\Gamma$的正向与$\sum$的侧符合右手法则,函数$P, \, Q, \, R$在包含$\sum$在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有 $$\oint_\Gamma Pdx + Qdy + Rdz = \iint_{\sum} \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}.$$   ②旋度
  向量场$A = \left \{ P(x, \, y, \, z), Q(x, \, y, \, z), R(x, \, y, \, z) \right \}$的旋度为 $$\begin{align} rotA &= (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})i + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})j + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})k \\ &= \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}. \end{align}$$   ③斯托克斯公式的向量形式 $$\oint_\Gamma A \cdot dr = \iint_\sum rotA \cdot dS.$$ 其中$dr = (dx, \, dy, \, dz), \quad dS = (dydz, \, dzdx, \, dxdy)$.

(7) 曲面形物体的转动惯量和引力

  ①面密度为$\rho(x,y,z)$的空间曲面$\sum$的质量$M = \iint_{\sum} \rho dS$,重心$$(\overline{x},\overline{y},\overline{z}) = (\frac{1}{M}\iint_{\sum} x \rho dS, \frac{1}{M}\iint_{\sum} y\rho dS, \frac{1}{M} \iint_{\sum} z \rho dS).$$ 关于$x, y, z$轴和原点的转动惯量 $$I_x = \iint_{\sum}(y^2 + z^2) \rho dS, \quad I_y = \iint_{\sum} (x^2 + z^2) \rho dS,$$ $$I_z = \iint_{\sum}(x^2 + y^2) \rho dS, \quad I_o = \iint_{\sum} (x^2 + y^2 + z^2) \rho dS.$$   ②面密度为$\rho(x,y,z)$的空间曲面$\sum$对位于点$(x_0,y_0,z_0)$处质量为$m_0$的质点的引力为$F = \left \{ F_x , F_y , F_z \right \}$,其中$$F_x = G\iint_{\sum} \frac{\rho \cdot m_0 (x-x_0)}{r^3} dS,$$ $$F_y = G\iint_{\sum} \frac{\rho \cdot m_0 (y-y_0)}{r^3}dS,$$ $$F_z = G\iint_{\sum} \frac{\rho \cdot m_0 (z-z_0)}{r^3}dS,$$ 其中$r = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}, \quad G$为引力常数。



  1. 1.数学一要求掌握
  2. 3.数学三要求掌握